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Chirale Anomalie
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Ferragus Offline
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Beitrag #1
Chirale Anomalie
Liebe Physiker,
es gibt ein paar Dinge, die mir nicht ganz klar sind bzw. wo ich nicht sicher bin, ob ich sie richtig verstanden habe (soll heißen die ein oder andere Aussage ist mit einem Fragezeichen zu verstehen). Ich freue mich auch, wenn mir jemand nur bei einzelnen Punkten weiterhelfen kann oder möchte.
  • Chirale Anomalie und Atiyah-Singer-Indextheorem
    Klassisch hat

    eine globale Symmetrie mit Noetherstrom . (Btw: Wie kann man hier einen Feynman-Slash machen?).
    In der Quantentheorie gilt aber .
    Der anomale Term,

    lässt sich (abgesehen von der Methode über die beiden Dreiecksdiagramme) berechnen, indem man direkt schaut, wie sich das Pfadintegralmaß transformiert.

    Wir habe aber gezeigt, dass (bis auf Vorfaktoren e^2 und -2i) obiger Ausdruck

    ist, wobei die n+ und n- die Anzahl an Eigenfunktionen mit Eigenwert 0 bzgl. und + / - bzgl. sind.

    Jetzt meine Frage:
    Ist dieser Zusammenhang "zwar ganz nett", weil er zeigt, dass die Anomalie sich nicht kontinulerlich ändert sondern wohl eine topologische Eigenschaft des Eichfeldes ist oder kann ich auf praktischer Seite daraus direkt sehen, ob(in einer bestimmten Anzahl an Dimensionen) eine Anomalie vorliegt oder nicht?
  • Chirale Eichtheorien
    - Für Yang-Mills kann ich mit Blick auf die Dreiecksdiagramme das Ergebnis verallgemeinern:

    (als Operatorgleichung).
    - Jetzt gibt es verschiedene Möglichkeiten. Einmal: Die Spur gibt = 0 und es liegt tatsächlich keine Anomalie vor, oder der Term ist =/= 0. In diesem Fall ist die Anomalie aber nur dann relevant, wenn die Theorie chiral ist, weil nur in diesem Fall das Eichboson an den (anomalen) Strom koppelt und damit z.B. BRST-Invarianz und schlussendlich Unitarität der S-Matrix kaputt macht (so weit richtig?).
    - Hier kommen jetzt möglicherweise ein paar Trivialitäten, ich bin mir aber nicht zu schade dafür und möchte sicher gehen,das richtig zu verstehen. Für eine Lagrangedichte wie sie ganz oben steht mit Dirac-Fermion , koppelt A ja bloß an und die vorhandene Anomalie macht nichts.
    Wenn ich hingegen durch ein chirales Fermion ersetze, also

    mit , dann kann (abgesehen davon, dass das in der Form glaube ich keine konsistente Theorie gibt) ich das ja als

    schreiben, d.h. jetzt ist der Noetherstrom , der zu der (globalen Form der) Eichsymmetrie gehört und an den A koppelt, anomal und diese Anomalie ist im Gegensatz zur vorherigen Fall nicht akzeptabel. (ja?)

    Die eigentliche Frage hierzu kommt noch, ich schicke das aber schon mal so ab und hoffe, dass jemand mal drüber schaut.
Beste Grüße
25.11.2016 18:03
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Ferragus Offline
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Beitrag #2
RE: Chirale Anomalie
Ich glaube, das mit dem Index-Theorem ist auch insofern interessant, als man davon ausgehend die Anomalie auf beliebige Dimensionenzahl verallgemeinern kann:

Wenn man eine chirale Theorie hat mit linkshändigen Fermionen in Darstellung und rechtshändigen in Darstellung , dann kann man sie ja nur durch linkshändige Fermionen in reduzibler Darstellung schreiben, sodass die Theorie genau dann chiral ist, wenn ist.

Ist , dann erhält man für den Anomalieterm
,
in 2 oder 6 Dimensionen haben wir allerdings jetzt ein T weniger bzw. mehr in der Spur und daher kein negatives Vorzeichen, das heißt - wenn ich mich nicht täusche - die Spur ist in diesem Fall nicht = 0 trotz .

PS: meine oben angekündigte "eigentliche Frage" hat sich übrigens erledigt Big Grin
26.11.2016 12:30
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EffectiveTheory Online
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Beitrag #3
RE: Chirale Anomalie
(25.11.2016 18:03)Ferragus schrieb:  Ist dieser Zusammenhang "zwar ganz nett", weil er zeigt, dass die Anomalie sich nicht kontinulerlich ändert sondern wohl eine topologische Eigenschaft des Eichfeldes ist oder kann ich auf praktischer Seite daraus direkt sehen, ob(in einer bestimmten Anzahl an Dimensionen) eine Anomalie vorliegt oder nicht?
Der ist sogar sehr praktisch, da dies bedeutet, dass Du nur die masselosen Weyl-Fermionen zählen musst, um zu wissen ob in Deiner Theorie eine Anomalie vorliegt oder nicht.
Zitat:- Jetzt gibt es verschiedene Möglichkeiten. Einmal: Die Spur gibt = 0 und es liegt tatsächlich keine Anomalie vor, oder der Term ist =/= 0. In diesem Fall ist die Anomalie aber nur dann relevant, wenn die Theorie chiral ist, weil nur in diesem Fall das Eichboson an den (anomalen) Strom koppelt und damit z.B. BRST-Invarianz und schlussendlich Unitarität der S-Matrix kaputt macht (so weit richtig?).
Nur wenn Deine Theorie chiral ist, kann die Spur überhaupt != 0 sein.
Zitat:Wenn ich hingegen durch ein chirales Fermion ersetze, also

mit , dann kann (abgesehen davon, dass das in der Form glaube ich keine konsistente Theorie gibt) ich das ja als

schreiben, d.h. jetzt ist der Noetherstrom , der zu der (globalen Form der) Eichsymmetrie gehört und an den A koppelt, anomal und diese Anomalie ist im Gegensatz zur vorherigen Fall nicht akzeptabel. (ja?)
Ja, die ist nicht akzeptabel im Sinne von "diese Quantenfeldtheorie besitzt keine Eichsymmetrie". Aber welcher vorherige Fall? Smile
27.11.2016 17:36
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Ferragus Offline
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Beitrag #4
RE: Chirale Anomalie
Lieber ET,
wie immer: vielen Dank für die Hilfe.
(27.11.2016 17:36)EffectiveTheory schrieb:  Nur wenn Deine Theorie chiral ist, kann die Spur überhaupt != 0 sein.
Hmm, ja? Also anders rum ists mir klar: wenn ist, dann erhält man , wobei die Spur bezeichnet. Aber im kommutativen, also QED-Fall mit einem (masselosen) Dirac-Fermion hat man doch z.B. auch obwohl die Theorie nicht chiral ist?

Zitat:Ja, die ist nicht akzeptabel im Sinne von "diese Quantenfeldtheorie besitzt keine Eichsymmetrie". Aber welcher vorherige Fall? Smile
Ein masseloses Dirac-Fermion. Dachte, das hätte ich davor irgendwo geschrieben Smile

Zitat:Der ist sogar sehr praktisch, da dies bedeutet, dass Du nur die masselosen Weyl-Fermionen zählen musst, um zu wissen ob in Deiner Theorie eine Anomalie vorliegt oder nicht.
Ah ja, ok, danke, Eigenfunktionen von Fermion mit Masse 0 und Eigenwert bzgl. Weyl-Fermion mit pos. bzw. neg. Chiralität.
29.11.2016 14:58
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RE: Chirale Anomalie
(29.11.2016 14:58)Ferragus schrieb:  
(27.11.2016 17:36)EffectiveTheory schrieb:  Nur wenn Deine Theorie chiral ist, kann die Spur überhaupt != 0 sein.
Hmm, ja? Also anders rum ists mir klar: wenn ist, dann erhält man , wobei die Spur bezeichnet. Aber im kommutativen, also QED-Fall mit einem (masselosen) Dirac-Fermion hat man doch z.B. auch obwohl die Theorie nicht chiral ist?
Nein. Theorien nur mit Dirac-Fermionen können nicht anomal sein, da hier recht- und linkshändige Fermionen immer paarweise auftreten und die Beiträge zur Anomalie sich innerhalb eines Paares wegheben.
29.11.2016 15:54
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Ferragus Offline
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Beitrag #6
RE: Chirale Anomalie
Vor allem hab ich im selben Post ja argumentiert, dass wenn die Theorie nicht chiral ist, die Spur verschwindet. Big Grin
01.12.2016 20:22
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Beitrag #7
RE: Chirale Anomalie
Smile Anomalien sind merkwürdig... da verwirrt man sich leicht selber Smile
01.12.2016 20:37
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Ferragus Offline
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Beitrag #8
RE: Chirale Anomalie
Scheint so Smile
Vielen Dank jedenfalls.
01.12.2016 20:42
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