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Problem: Heißenberg'sche Energie-Zeit-Unschärfe
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computerfreak
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Beitrag #1
Problem: Heißenberg'sche Energie-Zeit-Unschärfe
Hallo,

Bei der Energie-Zeit-Unschärfe muss ich eine Veränderung des Größer-Gleich-Zeichens vornehmen, um auf ein Ergebnis zu kommen. Meine Frage wäre, darf man das Größer-Gleich-Zeichen durch ein Ist-Gleich-Zeichen ersetzen, wenn man einen Faktor x auf der Seite des Planck'schen Wirkungsquantums ergänzt.

2. Frage. Kann man beweisen, dass der ergänzte Faktor x eine natürliche Zahl ist und wie?

Danke im Voraus für eure Antworten!


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26.06.2016 15:12
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Quantor Offline
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Beitrag #2
RE: Problem: Heißenberg'sche Energie-Zeit-Unschärfe
(26.06.2016 15:12)computerfreak schrieb:  Hallo,

Bei der Energie-Zeit-Unschärfe muss ich eine Veränderung des Größer-Gleich-Zeichens vornehmen, um auf ein Ergebnis zu kommen. Meine Frage wäre, darf man das Größer-Gleich-Zeichen durch ein Ist-Gleich-Zeichen ersetzen, wenn man einen Faktor x auf der Seite des Planck'schen Wirkungsquantums ergänzt.

2. Frage. Kann man beweisen, dass der ergänzte Faktor x eine natürliche Zahl ist und wie?

Danke im Voraus für eure Antworten!

Nun, die Unschärferelationen werden oft mit konkreten physikalischen Modellen der Natur "vermengt", in denen sie begründet werden. Ich möchte dir daher zum Verständnis kurz eine davon unabhängige rein geometrische Herleitung zeigen, die freilich in diesem Sinne vorerst heuristischer Natur ist und freilich innerhalb einer physikalischen Theorie mit physikalischen Größen begründet werden muss.

Denke dir hierzu eine Fläche A(x,y) die von den einander unabhängigen(!) Variablen x,y abhängt, eine Fläche zum Beispiel im "positiven" Quadranten in einem x-y-Koordinatensystem.
Man fordere, dass jede Änderung der Fläche bei "Variation" der unabhängigen Variablen x und y für jeden Punkt der Fläche allgemein folgende "Flächenbedingung" erfüllen soll:



die Änderung der Fläche also mindestens so groß wie die einer "Flächenkonstanten" k sein soll.

Betrachtet man nun den einfachsten Fall einer rechteckigen Fläche



und schreibt die "Flächenbedingung" anstatt "" mit dem in diesem Zusammenhang verständlicheren "" für einen Punkt um, dann erhält man:

,

also für die rechteckige Fläche:



Will man für den letzten Summanden eine Abschätzung nach unten formulieren, so minimiere man die beiden ersten Summanden und setze und bekommt:

(1)

Andererseits ist diese Abschätzung nicht notwendigerweise gültig, wenn die ersten beiden Summanden schon in der Größenordnung von k sind:



Fordert man so weiter resp. , so erhält man:

(2)
resp.
(3)

Inwiefern hängen diese rein geometrischen Herleitungen nun mit physikalischen Theorien zusammen?
Nun, mit den Anfängen der Quantentheorie hat man festgestellt, dass es eine solche "Flächenbedingung" mit minimaler Flächenänderung für den sogenannten "Phasenraum" gibt, dieser hat die physikalische Dimension einer "Wirkung" und die Konstante k wurde nach ihrem Entdecker "Plancksches Wirkungsquantum" h benannt. Diese ist bis auf konstante Faktoren identisch mit einem solchem k.
An dieser Stelle kann man auch schon einmal feststellen, dass die "Wirkung" selbst nicht "gequantelt" sein muss, schon gar nicht als ganzzahlige Vielfache von h. Vielmehr gibt es mit h "nur" eine untere Grenze für jede Wirkungsänderung.

Welche physikalischen Größen entsprechen nun als Produkt der Dimension der Wirkung?

Es sind:
Ort x Impuls
und
Energie x Zeit

In der QM ist es nun so, dass es zu jeder "Observablen" einen "Operator" geben muss, und damit zu jedem Messergebnis einen Eigenzustand.

Für Ort x und Impuls p ist das gegeben, entsprechen somit den Eigenzuständen dieser Operatoren.
Für Ort und Impuls erhält man aus den Gleichungen folgende Bedingungen:

(1): , für jede Kompomnente i

(2):

Aus (1) folgt hier die Unschärferelation für Ort und Zeit, resp. Komponenten.
Aus (2) folgt, wenn man interpretiert, eine "Wellenlänge" zum (scharfen) Impulseigenwert , es wird sozusagen ein "Teilchen" als "Welle" dargestellt.

Für Energie E und Zeit t verhält es sich etwas anders, da zwar Energie eine Observable ist, aber Zeit nicht, also letztere nur als Parametrisierung auftritt.

Formal geschrieben, folgt aus den Gleichungen:

(1):

(3):

Aus (3) folgt, wenn man als Frequenz einer Schwingung interpretiert: , also sozusagen ein "Quantenteilchen" einer Welle mit der Energie .

Für die Interpretation von (1) muss man bedenken, dass es sich hier um eine "Flächenbedingung" handelt, also für jedes nach unten begrenz sein muss, desweiteren eine Observable mit einem Spektrum ist, aber keine Obersavble im Sinne der QM ist. Auch ist zu bedenken, dass E und t unabhängig für die Betrachtung sein sollen, also E nicht explizit von t abhängen soll.
Bedenkt man dies, dann hängen Änderungen der Energie-Eigenzustände mit Änderungen in der Zeit wie beschrieben zusammen.

Als Beispiel betrachte man den "Zerfall" eines metastabilen Zustandes, je kurzlebiger er ist, desto grösser ist mit mehr Energieeigenzuständen und andersherum. Oder man beschreibt zB. ein Szenario einer Energiemessung, die desto länger dauert, je kleiner und genauer man das misst (zB. Stern-Gerlach Experiment).
(Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 14.09.2017 03:17 von Quantor.)
14.09.2017 03:13
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computerfreak
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Beitrag #3
RE: Problem: Heißenberg'sche Energie-Zeit-Unschärfe
Hallo Quantor,

Danke für deine Berechnung und das du dir die Mühe gemacht hast! Mein Gedankengang beruht darauf, das die Quantelung der Zeit und der Energie in natürlicher und direkter Relation zum halben Planck'schen Wirkungsquantum steht. Ich verstehe deine Herleitung nicht, sondern nur die einfache Mathematik dahinter. Bei mir ist eine Defintion mit guter Begründung meistens verständlicher. Wie würdest du eine Formel ansetzen, wenn ich die oben genannte Formelbeziehung herleiten will bzw. welchen Ansatz. ( einfach grob geschätzt !?! )

Danke
18.09.2017 20:57
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Quantor Offline
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Beitrag #4
RE: Problem: Heißenberg'sche Energie-Zeit-Unschärfe
(18.09.2017 20:57)computerfreak schrieb:  Hallo Quantor,

Danke für deine Berechnung und das du dir die Mühe gemacht hast! Mein Gedankengang beruht darauf, das die Quantelung der Zeit und der Energie in natürlicher und direkter Relation zum halben Planck'schen Wirkungsquantum steht. Ich verstehe deine Herleitung nicht, sondern nur die einfache Mathematik dahinter. Bei mir ist eine Defintion mit guter Begründung meistens verständlicher. Wie würdest du eine Formel ansetzen, wenn ich die oben genannte Formelbeziehung herleiten will bzw. welchen Ansatz. ( einfach grob geschätzt !?! )

Danke

Wenn du eine solche "Theorie ganzzahliger Quantelungen" umsetzen möchtest, dann such nach einem Einheitensystem, in dem alle Größen als ganzzahlige Vielfache dieser Einheiten auftreten.
Ein Ansatz sind die "Planck-Einheiten", in denen zB. gilt:



Wäre nun immer zB. und dann würde auch gelten:



Dem ist allerdings nicht so!

Die Unschärferelationen sind hierfür nicht der richtige Ansatz, wie schon dargelegt.
19.09.2017 20:13
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Quantor Offline
Drilling
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Beitrag #5
RE: Problem: Heißenberg'sche Energie-Zeit-Unschärfe
(19.09.2017 20:13)Quantor schrieb:  
(18.09.2017 20:57)computerfreak schrieb:  Hallo Quantor,

Danke für deine Berechnung und das du dir die Mühe gemacht hast! Mein Gedankengang beruht darauf, das die Quantelung der Zeit und der Energie in natürlicher und direkter Relation zum halben Planck'schen Wirkungsquantum steht. Ich verstehe deine Herleitung nicht, sondern nur die einfache Mathematik dahinter. Bei mir ist eine Defintion mit guter Begründung meistens verständlicher. Wie würdest du eine Formel ansetzen, wenn ich die oben genannte Formelbeziehung herleiten will bzw. welchen Ansatz. ( einfach grob geschätzt !?! )

Danke

Wenn du eine solche "Theorie ganzzahliger Quantelungen" umsetzen möchtest, dann such nach einem Einheitensystem, in dem alle Größen als ganzzahlige Vielfache dieser Einheiten auftreten.
Ein Ansatz sind die "Planck-Einheiten", in denen zB. gilt:



Wäre nun immer zB. und dann würde auch gelten:



Dem ist allerdings nicht so!

Die Unschärferelationen sind hierfür nicht der richtige Ansatz, wie schon dargelegt.

Noch eine Bemerkung:
solche eine "Theorie ganzzahliger Quantelungen" hat freilich ein paar Implikationen, die du beachten solltest, zwei mir Wichtigsten:

(i) Um eine Quantelung der Zeit zu beschreiben, bedarf es eines Operators, der diese "minimalen" Zeitzustände als Eigenzustände darstellt. Dies ist allerdings nicht im Rahmen der Quantenmechanik möglich, wie imho schon Pauli gezeigt hat.

(ii) Hierzu wird eine neue Wirkungskonstante notwendig sein, ich nenne sie mal für die zu zeigen sein muss, dass ist und erklären sollte, warum dann h ein unteres Limit für Wirkungsänderungen darstellt.

Also wird es mithin notwendig sein, mit diesem neuen Einheitensystem auch eine neue Theorie einzuführen, die die QM mit als Grenzfall beinhaltet.
20.09.2017 02:11
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