Baumstrukturmodus | Linearer Modus

Royaa · 26.06.2012 19:13

Hallo zusammen

Ich habe dieses Problem vor mir und bin total verwirrt!

"Beschreiben Sie die Bewegung eines Kaugummis auf einem velorad. Das Velo fährt in Richtung der x-achse mit 30 km/h und hat einen Radius von 35 cm.

Gesucht ist die Bewegungsgleichung des Kaugummis. Zum Zeitpunkt t=0 befindet sich der Kaugummi im koordinatensystem."

die antwort:

http://imageshack.us/photo/my-images/822/daswg.jpg/

kann jemand kurz erzählen wie man darauf kommt. oder kennt ihr eine vollständige webseite übers Stoff ? ich habe solche Art von Problemen mit ortsvektor auf Rädern nicht im Griff...

wäre über jeden Tipp super glücklich!! danke

**chris** · 26.06.2012 20:19

Hi Royaa,

herzlich Willkommen im Forum.

Ich würde wie folgt vorgehen.

Zunächst wählt man Koordinatensystem, indem die Radmitte im Ursprung liegt.

Dort gilt logsicherweisse:

$\vec{r} = R\cdot \begin{pmatrix}\cos(\omega\cdot t + \varphi_0) \\ -\sin(\omega \cdot t +\varphi_0)\end{pmatrix}$

Das $\varphi_0$ kommt daher, dass wir noch nicht bestimmt haben, wo der Kaugummi zum Anfgangszeitpunkt sitzt. Dies werden wir spaeter beachten.

Nun wechseln wir das Bezugssystem:

1. Wir verschieben den Ursprung zum Auflagepunkt => In der y Komponente kommt noch ein +R rein.

2. Wir bewegen uns jetzt nicht mehr mit dem Reifen mit, sondern bleiben in Ruhe.
Daher bekommen wir in der x Komponente noch ein $+ v\cdot t$ herein.

Daher gilt fuer die BGL im neuen System:

$\vec{r} = \begin{pmatrix}R\cdot \cos(\omega\cdot t + \varphi_0) + v\cdot t \\ -R\cdot \sin(\omega \cdot t +\varphi_0) + R\end{pmatrix}$

Ausserdem wissen wir ja, dass $v = R\cdot \omega$ .

Daher folgt:

$\vec{r} = \begin{pmatrix}R\cdot \cos(\frac v R \cdot t +\varphi_0) + v\cdot t \\ -R\cdot \sin(\frac v R \cdot t +\varphi_0) + R\end{pmatrix}$

Falls du die Angabe( was ich stark vermute) falsch abgeschrieben hast, und "koordinatensystem" , "Koordinatenursprung" heissen soll, so können wir diese Information nun ausnutzen.

Wir wissen also: $\vec{r}(t=0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Also:

$\begin{pmatrix}R\cdot \cos(\frac v R \cdot 0 +\varphi_0) + v\cdot 0 \\ -R\cdot \sin(\frac v R \cdot 0 +\varphi_0) + R\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Daher folgt:

$\cos(\varphi_0) = 0$

und

$\sin(\varphi_0) =1$

Daher folgt sofort $\varphi_0=\frac \pi 2$

Daher folgt als Lösung, unter Beachtung von $\sin(x+\frac \pi 2) = \cos(x) \;\; \text{und} \;\; \cos(x+\frac \pi 2) = - sin(x)$

$\vec{r}=\begin{pmatrix}-R\cdot \sin(\frac v R \cdot t) + v\cdot t \\ -R\cdot \cos(\frac v R \cdot t) + R\end{pmatrix}$

Ich hab mal meine Loesung mit den gegebenen Werte geplottet:
Ich hab dazu $t\in \left[0 {,} 1\right]$ gewaehlt.

[Bild: attachment.php?aid=474]

Freundliche Gruesse,
chris

Royaa · 27.06.2012 12:34

hat viel geholfen, und richting, hatte koordinatenursprung flasch als system geschrieben Smile

wow!

vielen vielen dank

Baumstrukturmodus \| Linearer Modus Bewegungsgleichung von Radbewegungen
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