Baumstrukturmodus | Linearer Modus

hipdebbe94 · 18.06.2012 19:25

Hallo Ihr!

Ich muss morgen ein Referat über den Bierschaumzerfall halten und bin gerade etwas aufgeschmissen, da ich eine Aufgabe nicht lösen kann.
Bitte helft mir!

Also ich soll die Gleichung V(Schaum) = V(0, Schaum) * 10 (hoch: -k*t)
rechnerisch erschließen. Habt ihr sowas schonmal gemachht? Wieso mal zehn und weshalb -k???

Ich danke schonmal!

***Colorado*** · 18.06.2012 19:36

Hallo hipdebbe94,

ein nettes Willkommen im Forum!

Ich schreibe die Gleichung aus Gründen der besseren Lesbarkeit nochmal mit TeX hin:

$V_{Schaum}(t)=V_{Schaum}(0)\cdot 10^{-k\cdot t}$

Die Formel drückt aus, dass das Schaumvolumen mit der Zeit exponentiell abnimmt. Anfangs (t=0) hast Du noch das volle Volumen, da

$V_{Schaum}(0)=V_{Schaum}(0)\cdot 10^{-k\cdot 0}=V_{Schaum}(0)\cdot 1=V_{Schaum}(0)$

k ist eine Konstante und beschleunigt oder verzögert den Zerfallsprozess, je nach Wert (und Biersorte). Die Basis 10 hat man vermutlich deswegen genommen, weil damit die Zerfallskurve am besten beschrieben wird. Soweit ich weiß, hat chris mal Versuche zu dem Thema gemacht. Vielleicht kann er noch etwas dazu sagen.

Freundliche Grüße

hipdebbe94 · 18.06.2012 19:40

wow super dankeschön! Damit kann ich nun schon sehr viel mehr anfangen als vorher und versuche mich mal weiter. Ansonsten gebe ich hier wieder einen Hilfe Ruf aus von mir! Danke!

Wie ermittle ich denn einen geeigneten Näherungswert für die Konstante k?

Ich habe das jetzt mal so interpretiert, dass die Konstante den Zerfallsprozess verzögert, weil k negativ ist.

Grüße

**chris** · 18.06.2012 20:58

Hi hipdeppe94,

von mir auch noch einherzliches Willkommen im Forum.

Da ich schon mal mit Bierschaum experimentiert habe, so sage ich gleich mal vorweg, dass das Modell mit der Exponentialfunktion ein eher schlechteres ist. Man nimmt zum Einfuehren der Exponentialfunktion oft gerne Bier, da es eben bei den Schuelern gut ankommen und auch dann genuesslich verzehrt werden kann. ^^

Hier findest du ein sehr ausfuehrliches .pdf zum Bierschaumzerfall.

Nun kommen wir mal zu deiner Frage:

Man geht davon aus, dass die Menge an Schaum direkt proportional zu dem Schaumabfall ist, d.h. je mehr Schaum vorhanden ist, desto schneller nimmt der Schaum ab. Am Anfang nimmt der Schaum noch schnell ab, waehrend er am Schluss immer langsamer abnimmt. Das ist der Ansatz.

Es gibt also eine Proportionalitaetskonstante a (die von der Sorte des Bieres abhaengt), sodass gilt:

$\text{Schaumabfall} = a\cdot\text{Schaumvolumen}$

Der Schaumabfall ist ja nichts weiters als die zeitliche Ableitung des Volumens. Man bekommt noch ein zusaetzliches Minus hinen, denn der Schaum faellt ja ab. k ist dann eine positive Konstante.

Mathematisch schaut das dann so aus:

$-\frac{dV}{dt} = a\cdot V$

Das ist eine gewoehnliche lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung. Dafuer macht man einen e-Ansatz.

Man setzt also an:

$V(t) = V_0\cdot e^{c\cdot t}\;\Rightarrow\; \frac{dV}{dt} = V_0\cdot c \cdot e^{c\cdot t}$

Das setzen wir oben die die DGL ein und erhalten:

$- V_0\cdot c \cdot e^{c\cdot t} =a\cdot V_0\cdot e^{c\cdot t}\; \Rightarrow\; c=-a$

Daher lautet also die fertige DGL:

$V(t) = V_0 \cdot e^{-a\cdot t}$

Wir koennen ja eine neue Konstante k definieren, fuer die gilt:

$k = \frac{a}{\ln(10)} \; \Rightarrow \; a=k\cdot \ln(10)$

Daher gilt dann:

$V(t) = V_0\cdot e^{-a\cdot t} =V_0\cdot e^{-k\cdot\ln(10) \cdot t} = V_0\cdot \left(e^{\ln(10)}\right)^{-k\cdot t} = V_0\cdot 10^{-k\cdot t}$

Nun hast du deinen Zusammenhang hergeleitet.

Das Minus vor dem k bedeutet, dass der Schaum immer weniger wird. Waere da ein + so wuerde ja immer mehr Schaum entstehen, das waere ja unlogisch.

Diese k haengt wie oben schon erwaehnt von der Sorte des Bieres ab. Das muss/kann experimentell bestimmt werden.

Freundliche Gruesse,
chris

hipdebbe94 · 18.06.2012 22:21

Herzlichen Dank, das hat mir alles sehr weiter geholfen und danke euch vielmals!

Grüße, debbie

Baumstrukturmodus \| Linearer Modus Formel zum Bierschaumzerfall
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