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**chris** · 22.12.2011 17:36

So ich hab mir jetzt eine Lösung überlegt. Habe hier aber einige Näherungen getroffen, aber es kommt was halbwegs sinnvolles dabei raus.

Zunächst wechsle ich in das Inertialsystem, wo der Mann im Urpsrung ist.

Was wirken jetzt für Kräfte?

Es wirken die Reibungskräfte des Bootes, welche durch die Zugkraft des Mannes kompensiert wird.

Nun gehe ich zum Ansatz:

$m\cdot \ddot{\vec{r}} = \sum_i \vec{F_i}$

Die Summe aller angreifenden Kräfte ist m*a.

Außerdem wähle ich Polarkoordinaten, da dabei der Radius r=15m konstant über die Zeit ist. Die Einheitsvektoren sind dabei:
$\vec{e_r} = \begin{pmatrix} \cos(\varphi) \\ \sin(\varphi)\end{pmatrix} \; \; \text{und} \;\; \vec{e_\varphi} = \begin{pmatrix} -\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi)\end{pmatrix}$

In Polarkoordinaten gilt.

$\vec{r(t)} = r\cdot \begin{pmatrix} \cos(\varphi) \\ \sin(\varphi)\end{pmatrix}= r \cdot \vec{e_r}$

Für die Beschleunigung muss ich $\vec{r}$ 2 mal ableiten.
Da ich weiß dass r konstant ist, so ist $\dot{r} = 0$ .

Es ergibt sich:

$\ddot{\vec{r}} = r\cdot \ddot{\varphi} \cdot \vec{e_\varphi} - r\cdot \dot{\varphi}^2\cdot \vec{e_r}$

Nach Newton II gilt nun:

$m\cdot r\cdot \ddot{\varphi} \cdot \vec{e_\varphi} - m\cdot r\cdot \dot{\varphi}^2\cdot \vec{e_r} = F_{Zug} \cdot \vec{e_r} - F_{radialReibung}\cdot \vec{e_r} - F_{tangentialReibung}\cdot \vec{e_\varphi}$ (Gleichung 1)

Nun multipliziere ich die Gleichung mit $\vec{e_\varphi}$ .

Da dies ein Einheitsvektor ist, so gilt: $\vec{e_\varphi}^2 =1$ .

Außerdem gilt, da $\vec{e_\varphi}$ senkrecht auf $\vec{e_r}$ steht, dass das Skalarprodukt null ergibt.

Somit vereinfach sich (Gleichung 1) stark zu folgedem:

$m \cdot r\cdot \ddot{varphi} = -F_{tangentialReibung}$ .

Eine Reibungkraft hängt (fast) immer von der Geschwindigkeit des Körpers ab. Somit können wir für die Reibungkraft ansetzten:

$F_{tangentialReibung} = k\cdot v_{tangential} = k \cdot r \cdot \dot{\varphi}$

Das nun in obige Gleichung eingesetzt ergibt:

$m\cdot r \cdot \ddot{\varphi} = -k \cdot r \cdot \dot{\varphi}$

r kürzen ergibt:

$\ddot{\varphi} + \frac{k}{m} \cdot \dot{\varphi} = 0$

Diese Differentialgleichung kann nun einfach durch Integration und Trennung der Variablen gelöst werden.

Als Lösung kommt heraus:

$\varphi(t) = A\cdot e^{- \sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t} + B$

Nun wähle ich nun $B= 180^\circ = \pi$ und $A = -90^\circ = -\frac{pi}{2}$ .

Die Vorzeichen von A und B sind nur durch die Konvention einen Winkel immer entgegen dem Uhrzeigersinn zu messen, entstanden.

Als Lösung ergibt sich also:

$\varphi(t) = -\frac{\pi}{2}\cdot e^{- \sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t} + \pi$

Eine konkrete Lösung für dein Problem finde ich jetzt nicht, ich weiß nur dass der Winkel exponentiell abfällt.
Bin mir aber nicht sicher ob ich das so machen kann. Die Lösung scheint mal nicht allzu falsch zu sein. Jedoch weiß man ja, dass auch aus was falschem was richtiges folgern kann.

Freundliche Grüße,
chris

Peter Stephan · 22.12.2011 18:04

Eiii, sieht fundierter aus als mein Ansatz, ich hab alles in einem Fiktiven Modell ueber zwei Dreiecksberechnungen Erschlagen.
Aber ich glaube mein Modell ist virtueller als deines Chris. Ich poste es mal, aber im Zweifelsfall ist meine Vereinfachung wesentlich staerker:
Das hier ist für mich die Ausgangssituation.

Siehe Anhang Bild BasisSzenario.jpg
[Bild: attachment.php?aid=301]

Eingezeichnet sind ein Gedankliches Dreieck mit seinen Winkeln und bewegungsrichtungen. Wichtig dabei. Das Dreieck wird so nicht mit seinem Rechten Winkel in der Positionsecke x=y=0 kleben Bleiben wenn der Mann sich in x Richtung bewegt.

Was man aber vereinfacht sagen kann ist dass dieses Dreieck sich bei seiner Bewegung definitiv verändert, und zwar modellhaft so:

Siehe Anhang Innere Bewegung y schematisch.jpg
[Bild: attachment.php?aid=302]

Die Hypothenuse, also die Seil laenge bleibt dabei immer gleich und nur An, bzw Gegenkathete veraendern sich stetig. Zudem kenne ich den Schenkel x als eingangsparameter fuer die Funktion.

Eigentlich Beschreibt das schon die bewegung in richtung y Richtung und das ist ja die Ausgangsfrage. Aber diese Bewegung ist auch abhaengig vom Bewegungsverhalten in X Richtung.

Will man das aber auch noch in einem Ablaufmodell mit einbeziehen, würde ich eine unabhängige Bewegung beschreiben, die ich über ein zweites Dreieck definieren würde, etwar, so:

Siehe Anhang: x Drift.jpg
[Bild: attachment.php?aid=303]

Das zweite Dreieck ist das hinter dem ersten Liegende, das Blaue. Während sich in meiner Betrachtungsweise das erste Dreieck NICHT Konstant vom beckenrand weg Driftet vergroessert sich das zweite tatsächlich ständig, da es immer auf den Beckenrand bezogen bleibt.

Was Das einzige was diese beiden Dreiecke nun gemeinsam haben ist ihr Winkel Alpha & Beta. Stellt sich jetzt die Frage, wie setzt man den Drift in verhaeltnis zur bewegung des Mannes.

Und da wuerde ich eine FRECHE Abkuerzung nehmen. Der Drift in x Richtung wird am Anfang sehr langsam ablaufen und sich gegen Ende der laufgeschwindigkeit des Mannes annaehern. Die Veraenderung dieser Bewegung wird nicht linear ablaufen aber ich vermute sie verlauft gemaess der Sinus, bzw Cosinus Wert aenderung der Winkel.

Also wuerde ich (wie gesagt FRECH) folgende Verhaeltnis Gleichung dafuer aufstellen

Die Zurueckgelegte Wegstrecke des Mannes verteilt sich anteilmaessig auf
1.) Die Laengenveraenderun des Ersten Dreiecks (x Seite)
2.) Den Drift Abstand X

Und dieses Verhaeltnis wuerde ich mir einfach aus einer der Entsprechenden Sinus oder Cosinus Funktionen ableiten

steffi90 · 23.12.2011 00:25

das klingt ja alles schon ganz gut =)
habe gestern auch noch versucht das zu zeichnen und über die trigonometrischen Funktionen auszurechnen, aber geklappt hat das am Ende nicht so wirklich..
Man kann ja ein Dreieck zeichen bei welchen 2 Seiten gegeben sind,also die eine Seite mit 44m und die andere mit 15m (Seillänge).
Die 2 Angaben reichen mir aber irgendwie nicht aus um weitere Werte ausrechnen zu können. Ich glaube man müsste i-wie den Winkel ausrechnen,nur weiß ich leider nicht wie =(
Über Pythagoras, Tangens usw. habe ich das nicht geschafft..

Ich danke euch aber jetz schon mal für euer Engagement =)

ohh hab eure Beiträge erst jetzt gelesen! Also danke schon mal für eure Mühe Chris und Peter!
Also ich denke die Reibungskräfte und Zugkräfte können bei dieser Aufgabe aussen vor gelassen werden! Man muss also "NUR" i-wie versuchen den Winkel des Dreiecks (ungefähr das Dreieck wie Peter es aufgestellt hat) ausrechnen und dann darüber die Länge der Seite in y-Richtung. Also das dachte ich zumindest, kriege es aber selber noch nicht raus.. i-wie muss da ja ein konkreter Wert zu berechnen sein.. ich glaube ich werde aber mein Professor noch einmal auf die Aufgabe ansprechen, der wird mir wohl noch i-welche Tipps geben bzw. den Ansatz den er sich vorgestellt hat vorgeben.
Das ist echt ne komplizierte Aufgabe...

**chris** · 23.12.2011 01:02

Na da bin ich mal gespannt, wie der Prof das meint.

Viele Grüße,
chris

**Scurra** · 23.12.2011 02:01

Leider habe ich gerade meine Unterlagen nicht bei mir, aber wenn das stimmt, was bei wikipedia steht, dann ist es nicht möglich, ein exaktes Ergebnis anzugeben.
Die Lösung für dein Problem lautet
$x(y) = d \left( arccosh \frac{d}{y} - \sqrt{1-\left(\frac{y}{d}\right)^2}\right)$
mit $d = 15m$
Eigentlich bräuchtest du y als Funktion von x, aber das ist analytisch nicht so erreichbar. Du kannst aber irgendein Rechenprogramm deiner Wahl drauf loslassen und numerisch einen Wert erhalten, um den zugehörigen Wert für y zu erhalten, so dass x=44m gilt.

Traktrix

Peter Stephan · 23.12.2011 02:34

Scurra, da schau ich doch NEIDISCH auf deine kurze & elegante Loesung Smile

Ich gebs zu !!!
Ich haette gleich Deinem Link nach gehen sollen, anstatt mir die Finger wund zu zeichnen. Smile

Sieht fuer mich SEHR GUT aus !!!!
Ciao,

Peter

**chris** · 23.12.2011 19:14

Also ich hab mich nochmal mit dem auseinandergesetzt.

Zunächst wähle ich meine Punkte:

Für den Mann gilt:
$x=x_M \text{und} y=y_M = 0$

Die Koordinaten des Bootes nenn ich einfach x und y.

Man kann 2 Bedingungen für das Problem aufstellen:

1. Bedingung:
Aus den Dreiecken von Peter erkennt man mit Pythagoras:

$y^2 + (x_M - x)^2 = l^2$

Wobei l die Länge des Seils ist.

2. Bedingung
Man erkennt, dass die Kraft immer zum Mann zeigt.
Also ist Tangente der Kurve immer die Verbindungslinie zum Mann.
Da die Tangente auch die Steigung der Kurve beschreibt, so kommt man zu dem Schluss:

$y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x_m - x}$

Bedingung 1 in Bedingung 2 eingesetzt ergibt:

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{\sqrt{l^2 - y^2}}$

Diese Differentialgleichung kann mit Trennen der Variablen und anschließender Intebgration gelöst werden.

Trennung der Variablen ergibt:

$\sqrt{\frac{l^2}{y^2} - 1} \; dy = dx$

Integration und Einsetzen der Bedingungen ergibt:

$\int_{15m}^y \sqrt{\frac{l^2}{y^2} - 1} \; dy = \int_0^x dx$

Ich weiß zwar nicht wie ich das linke Integral lösen soll/kann, jedoch behaupte ich dass ich damit auf die Form vom Scurra komm.

EDIT: Jetzt hab ich gerade gesehen, dass auf Wikipdia auch die Herleitung steht. Da steht auch, dass man das Integration mit folgender Substitution lösen kann: $\frac{d}{y} = \cosh u$ . Als Lösung bekommt man dann den Term von Scurra.

Viele Grüße,
chris

Peter Stephan · 23.12.2011 20:49

Junge, ich glaube so komplett haben wir hier selten ein Thema Erschlagen !!!
Hut ab vor euch Zwei und viele Gruesse

Peter

**Scurra** · 23.12.2011 21:21

Na ja, die meiste Arbeit kommt von dir und Chris. Ich habe lediglich geschrieben, was ich bereits im Studium gelernt habe Wink

Peter Stephan · 23.12.2011 21:23

Und ich hab lediglich Fantasie Zeichnungen angefertigt Smile

Also dann Du Chris, Hut ab.

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