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täsetuchen · 12.12.2011 18:29

hallo ... ich schon wieder Smile

ich hänge an folgender Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus Aufgabe 2.1b, dass

$\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c}\cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b}$

gilt.

Das Lösungsblatt mit Musterlösung 2.1b hab ich angehängt.

Mein Problem ist nun folgendes.

1. wie zeige ich das dass gilt? (kleiner wink mit dem Zaunpfahl wäre nett Smile

)
2. wie um alles in der Welt soll mir die alte Aufgabe dabei helfen????

danke!!!

lg

**chris** · 12.12.2011 21:51

Hi täsetuchen,

das ist die bac-cab-Regel. Eine ganz wichtige Identität in der theoretischen Physik.

Am besten du löst es mit dem Levi-Chivita-Symbol.

Ein Kreuzprodukt kannst du darstellen als:

$\left(\vec{a}\times \vec{b}\right)_{i}= \epsilon_{ijk}\cdot a_j \cdot b_k$

Hier ist die i-te Komponente gemeint. Wenn du eine Identiät für die i-te Komponente zeigst, dann gilt sie auch allgemein, denn i kann ja alle Werte annehmen.

Hierbei habe ich die Einstein'sche Summenkonvention verwendet.( Über doppele Indizes wird summiert)

Das Skalarprodukt lässt sich darstellen als(Das Delta ist das Kronekersymbol):

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \delta_{ij} \cdot a_i\cdot b_j=a_j\cdot b_j$

Außerdem solltest du noch wissen:

$\epsilon_{ijk}\cdot\epsilon_{iml} = \delta_{mj}\cdot\delta_{lk} - \delta_{mk}\cdot\delta_{lj}$

Damit solltest du es schaffen. Schaffst du es? Ich könnte dir es auch zeigen.

Freundliche Grüße,
chris

täsetuchen · 13.12.2011 09:31

hallo chris Smile

es tut mir echt leid, aber ich versteh es nicht Sad

ich hab jetzt versucht, das ganze ins Levi-Chivita-Symbol zu packen... aber irgendwie will das nicht so wie ich will ...

kannst du mir nochmal helfen??

**chris** · 13.12.2011 11:32

Tipp:

Es empfhielt sich die Komponentenschreibweise, denn da gilt Asooziativ- und Kommutativgesetz. Außerdem wurde verwendet, dass gilt: $\epsilon_{ijk}=\epsilon_{kij} = \epsilon_{jki}$ , also die zyklische Vertauschung vom Levi-Chivita-Symbol.

$\left(\vec{c}\times\left({\vec{a}\times\vec{b}\right)\right)_i = \epsilon_{ijk}\cdot c_j \cdot \left(\epsilon_{klm} \cdot a_l \cdot b_m\right)=\epsilon_{ijk}\cdot \epsilon_{klm} \cdot c_j \cdot a_l\cdot b_m=\epsilon_{kij}\cdot \epsilon_{klm} \cdot c_j \cdot a_l\cdot b_m=...$

Nun verwendest du die von mir angegebene Identität und dann kannst du aus den Levi-Chivita-Symbole Kroneker-Symbole machen, was effektiv nichts andere bedeutet, als dass du aus den Kreuzprodukten, Skalarprodukte machst.
Du zeigst diese Identität nur für die i-te Komponente, da i=1,2,3 annehmen kann, so gilt dies auch für den ganzen Vektor.

Kommst du jetzt zum Ziel? Oder soll ich ganz fertig machen?

Freundliche Grüße,
chris

**chris** · 15.12.2011 17:37

Da du dich nicht mehr meldest, gehe ich davon aus, dass sich die Sache für dich erledigt hat.
Da aber vielleicht später noch Leute diese bac-cab-Regel zeigen sollen, werde ich die Aufgabe noch vollenden.

Wir verwenden die Einsteinsche Summenkonvention(über doppelt auftretende Indices wird summiert)

Für das Kreuzprodukt in Komponenten gilt:

$\left(\vec{a}\times \vec{b}\right)_{i}= \epsilon_{ijk}\cdot a_j \cdot b_k$

Für ein Skalarprodukt gilt:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \delta_{ij} \cdot a_i\cdot b_j=a_j \cdot b_j$

Außerdem gilt:

$\delta_{ij}\cdot a_j = a_i$

Da alle Einträge für $i\ne j$ Null sind, ist die obige Identität klar. Sie wird auch weiter unten verwendet.

Außerdem sollte noch folgende Identität zwischne Epsilon Tensor und Kroneker-Symbol bekannt sein:

$\epsilon_{ijk}\cdot\epsilon_{iml} = \delta_{mj}\cdot\delta_{lk} - \delta_{mk}\cdot\delta_{lj}$

Somit ergibt sich für die i-te Komponente von CxAxB:

$\left(\vec{c}\times\left({\vec{a}\times\vec{b}\right)\right)_i=$

$=\epsilon_{ijk}\cdot c_j \cdot \left(\epsilon_{klm} \cdot a_l \cdot b_m\right)=$

$=\epsilon_{ijk}\cdot \epsilon_{klm} \cdot c_j \cdot a_l\cdot b_m=$

$=\epsilon_{kij}\cdot \epsilon_{klm} \cdot c_j \cdot a_l\cdot b_m=$

$=\left(\delta_{il}\cdot\delta_{jm} - \delta_{im}\cdot\delta_{jl}\right)\cdot c_j \cdot a_l\cdot b_m=$

$=\delta_{il}\cdot\delta_{jm}\cdot c_j \cdot a_l\cdot b_m - \delta_{im}\cdot\delta_{jl}\cdot c_j \cdot a_l\cdot b_m=$

$=c_m\cdot a_i \cdot b_m - c_l \cdot a_l\cdot b_i=$

$=a_i \cdot c_m\cdot b_m - b_i \cdot c_l \cdot a_l=$

$=\left(\vec{a} \cdot \left(\vec{c}\cdot \vec{b}\right) - \vec{b} \cdot \left(\vec{c} \cdot \vec{a}\right)\right)_i$

Da diese Identität nun für die i-te Komponente gezeigt wurde, so gilt sie auch allgemein, da i=1,2,3 annehmen kann.

Freundliche Grüße,
chris

täsetuchen · 16.12.2011 10:16

hallo chris!

vonwegen erledigt Smile

habe verzweifelt versucht das hinzubekommen.
daher auch keine Meldung (wollte nicht in Versuchung kommen und es allein schaffen)

danke für die Lösung. ich war nämlich leider nicht erfolgreich Sad

vielen dank Smile

**chris** · 16.12.2011 18:34

Ist es jetzt klar? Oder hast du noch fragen?

Viele Grüße,
chris

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