Baumstrukturmodus | Linearer Modus

arc · 06.12.2011 18:46

Hallo,
ich bräuchte bei einer Aufgabe etwas Hilfe. Folgendes:
Eine Stange, die senkrecht an einer Mauer steht ist derart beweglich, dass sie nach unten bzw oben schwenken kann. An ihrem Ende hängt ein Gewicht. Ein Arbeiter steht auf der Mauer und zieht an einem Seil, welches am Ende der Stange befestigt ist. Wie stark muss erziehen? Grundidee ist klar, Drehmomente berechnen usw. Jedoch soll auch das Gewicht der Stange miteinbezogen werden. Sie hat die Maße (0,03x0,03x2)m^3 bei einer Dichte Rho=7850kg/m^3.

Ich habe den Teil der Aufgabe so angedacht:

M=int(r*F) dF=dm*g dm=Rho*0,03^2*dr

Also habe ich das Integral int(r*Rho*0,03^2*dr*g) in den Grenzen 0 und 2m betrachtet. Ergebnis M=277NM.

Dies ist jedoch exakt das gleiche Ergebnis, als ob ich das Gewicht der Stange - gedacht als einfache Masse - direkt ans Ende der Stange gehängt hätte. Da aber natürlich Masseelemente am Anfang der Stange ein kleineres Drehmoment besitzen als welche am Ende, musste ich stutzen. Ich hatte ein weitaus kleineres Ergebnis erwartet (vll 1/4 davon). Könntet ihr mir helfen, ob ich hier nicht doch einfach ein Denkfehler habe? Danke Wink

**chris** · 06.12.2011 22:50

Hi arc,

herzlich Willkommen im Forum.

Zunächst mal habe ich die Länge des Stabes mit l bezeichnet.

Eigentlich müsstest du nicht integrieren, denn der Schwerpunkt der Stange liegt offensichtlich in der Mitte. Dort kannst du dann deine Kraft anhängen.
Außerdem kannst du das Kreuzprodukt auflösen, da offensichtlich r senkrecht auf F steht.
Also ist das Drehmoment das durch die Gewichtskraft der Stange entsteht:
$M_{Stange}=\frac{l}{2} \cdot m_{Stange} \cdot g=F_g\cdot \frac{l}{2}$ .

Du kannst es natürlich auch per Integral herleiten. Dazu betrachte eine kleine Scheibe mit der Querschnittsfläche A und der Breite dr. Die infinitesimale Masse ist dann:

$dm = \varrho\cdot A \cdot dr$

Durch Integration erhält man:

$m\left(r\right)=\varrho \cdot A \cdot r$

Nun setze in die Definition des Drehoments ein und beachte, dass r senkrecht auf F steht und somit das Kreuzprodukt aufgelöst werden kann.

$M = \int_0^{l} F dr= g\cdot \int_0^{l} m\left(r\right) dr = g\cdot \int_0^{l} \varrho \cdot A \cdot r dr= g\cdot A \cdot \varrho \cdot \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{l} = g\cdot A \cdot \varrho \cdot \frac{l^2}{2} = l\cdot A \cdot \varrho \cdot g \cdot \frac{l}{2} = m\cdot g \cdot \frac{l}{2} = F_g \cdot \frac{l}{2}$

Bei der Integration kommt offensichtlich das gleiche heraus wie bei der Überlegung mit dem Schwerpunkt.
Da du sagtest, dass die Grundidee klar ist, nehme ich an, dass nun alles geklärt ist.

Freundliche Grüße,
chris

Baumstrukturmodus \| Linearer Modus Berechnung des Drehmoments
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