Baumstrukturmodus | Linearer Modus

***Heisenberg*** · 21.10.2011 12:03

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren spielen eine wichtige Rolle in der Beschreibung des quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Man findet sie auch unter den Begriffen Aufsteigeoperator, Absteigeoperator, Leiteroperatoren oder Kletteroperatoren. Hier sollen die grundlegenden Eigenschaften dieser Operatoren vermittelt werden.

a) Zunächst sollen der Erzeugungsoperator sowie der Vernichtungsoperator ermittelt werden. Wir wollen diese Operatoren wie folgt bezeichnen:

$\text{Erzeugungsoperator:}\qquad \stackrel{\^}{a}^{\dagger}$
$\text{Vernichtungsoperator:}\qquad \stackrel{\^}{a}$

Um diese beiden Operatoren zu bestimmen, betrachtet man die Schrödingergleichung für den eindimensionalen, Harmonischen Oszillator:

$H\Psi=\frac{1}{2m}\[(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx})^2+(m\omega x)^2\]\Psi=E\Psi$

Zerlege nun den Hamiltonoperator H in folgendes Produktschema:

$\stackrel{\^}{a}\stackrel{\^}{a}^{\dagger}=(x-iy)(x+iy)=x^2+y^2$

Wie lauten dann die beiden Leiteroperatoren?

b) Berechne $\stackrel{\^}{a}\stackrel{\^}{a}^{\dagger}$ und zeige, dass gilt:

$(\stackrel{\^}{a}\stackrel{\^}{a}^{\dagger}-\frac{\hbar \omega}{2})\Psi=E\Psi$

Dies ist dann die Schrödingergleichung ausgedrückt mit Hilfe des Erzeugungs- und Vernichtungsoperators.

c) Berechne nun den folgenden Kommutator:

$[\stackrel{\^}{a},\stackrel{\^}{a}^{\dagger}]$

Die Lösung ist hier zu finden (Freier Zugang für angemeldete Benutzer)

Beste Wünsche,

Heisenberg

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