Physik Forum

Da Schulferien sind und ich eh nichts anderes zu tun habe, hatte ich mir vorgenommen, mich mit den Matrizen auseinanderzusetzen. Nun bin ich bei dem Kreuzprodukt angelangt.
Nur ist da jetzt eine Frage.

$\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}\,.$

Das habe ich gefunden. Was es aussagt, ist mir klar, nur frage ich mich, wie man auf die genaue Berechnung kommt.

Dann noch:
$\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{pmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y) \vec e_1 + (a_z b_x - a_x b_z) \vec e_2 + (a_x b_y - a_y b_x) \vec e_3$

Ich weiß nicht, wie genau ich mit den $e$ umgehen soll. Was bedeutet es denn?
Und dann wieder die Frage, wie ich auf diesen Term komme.
(Das Ergebnis gibt doch nur den Betrag des Kreuzproduktes an, oder?)

werde zweimal antworten müssen.

Part 1:
Das Vektorprodukt ...

Nunja, vorerst das Ziel: du möchtest einen Vektor $\vec c$ , welcher orthogonal zu $\vec a$ und $\vec b$ ist. Dazu die Bedingung:

$0 \ = \ \vec c \ \circ \ \vec a$
$0 \ = \ \vec c \ \circ \ \vec b$

Nun lösen wir das Skalarprodukt für c*a und c*b auf:

$0 \ = \ c_x \cdot a_x \ +\ c_y \cdot a_y \ + \ c_z \cdot a_z$
$0 \ = \ c_x \cdot b_x \ +\ c_y \cdot b_y \ + \ c_z \cdot b_z$

Damit hätten wir ein wunderschönes lineares Gleichungssystem.

Formen wir das mal um. Dazu stellen wir beide Gleichungen nach cx um:

$0 \ = \ c_x \cdot a_x \ +\ c_y \cdot a_y \ + \ c_z \cdot a_z$
$c_x \ = \ -\frac {c_y \cdot a_y \ + \ c_z \cdot a_z} {a_x}$

$0 \ = \ c_x \cdot b_x \ +\ c_y \cdot b_y \ + \ c_z \cdot b_z$
$c_x \ = \ -\frac {c_y \cdot b_y \ + \ c_z \cdot b_z} {b_x}$

Nun können wir die beiden cx gleichsetzen:
$\frac {c_y \cdot a_y \ + \ c_z \cdot a_z} {a_x} \ = \ \frac {c_y \cdot b_y \ + \ c_z \cdot b_z} {b_x}$
$b_x \ \cdot \ (c_y \cdot a_y \ + \ c_z \cdot a_z) \ = \ a_x \ \cdot \ (c_y \cdot b_y \ + \ c_z \cdot b_z)$
$b_xc_ya_y \ + \ b_xc_za_z \ = \ a_xc_yb_y \ + \ a_xc_zb_z$

Part 2:
So, nun noch das Ganze auf "0=blabla" umformen:

$0 \ = \ b_xc_ya_y \ + \ b_xc_za_z - \ a_xc_yb_y \ - \ a_xc_zb_z$
... Klammern setzen ...
$0 \ = \ c_y\ \cdot \ (a_yb_x \ - \ a_xb_y) \ + \ c_z \ \cdot \ (a_zb_x \ - \ a_xb_z)$

Unser neues Gleichungssystem:
$0 \ = \ c_x \cdot a_x \ +\ c_y \cdot a_y \ + \ c_z \cdot a_z$
$0 \ = \ c_y\ \cdot \ (a_yb_x \ - \ a_xb_y) \ + \ c_z \ \cdot \ (a_zb_x \ - \ a_xb_z)$

So, das Ganze machen wir nun nochmal..
$0 \ = \ c_x\ \cdot \ (a_yb_x \ - \ a_xb_y) \ + \ c_z \ \cdot \ (a_yb_z \ - \ a_zb_y)$
$0 \ = \ c_y\ \cdot \ (a_yb_x \ - \ a_xb_y) \ + \ c_z \ \cdot \ (a_zb_x \ - \ a_xb_z)$

Stellt man diese Gleichungen nun nach cx und cy um, so erhält man:

$c_x \ = \ c_z \ \cdot \ \frac {a_yb_z - a_zb_y} {a_xb_y - a_yb_x}$
$c_y \ = \ c_z \ \cdot \ \frac {a_zb_x - a_xb_z} {a_xb_y - a_yb_x}$

Hier können wir cz nun frei wählen. Wir haben es als "gleichberechtigten" Koeffizienten eingebaut, damit steht es uns frei, einen Wert selbst auszuwählen. cz ist also von nix abhängig.

Um diesen hässlichen Bruch wegzubekommen, sage ich, dass cz = axby - aybx.

$c_x \ = \ (a_xb_y - a_yb_x) \ \cdot \ \frac {a_yb_z - a_zb_y} {a_xb_y - a_yb_x}$
$c_y \ = \ (a_xb_y - a_yb_x) \ \cdot \ \frac {a_zb_x - a_xb_z} {a_xb_y - a_yb_x}$

$c_x \ = \ a_yb_z - a_zb_y$
$c_y \ = \ a_zb_x - a_xb_z$
$c_z \ = \ a_xb_y - a_yb_x$

.. als Vektor:
$\begin{pmatrix} c_x \\ c_y \\ c_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_yb_z - a_zb_y \\ a_zb_x - a_xb_z \\ a_xb_y - a_yb_x \end{pmatrix}\,.$

Das wäre unser Endergebnis Smile

Scheint alles vielleicht etwas zweckgerichtet und willkürlich, aber so ists denke ich am besten erklärt.

Vielleicht liest du dir den Post auch lieber zweimal durch - in meinem Mathebuch steht das alles ziemlich knapp beschrieben, also konnte ichs nicht von Leuten kopieren, die besser erklären können als ich Sad

Gruß

Zitat:Formen wir das mal um. Dazu stellen wir beide Gleichungen nach ax und cx um:

Das tust du aber nicht, du stellst beider Gleichungen nach $a_x$ und $b_x$ um. Aber dann ist wohl das oben zitierte falsch, sonst wäre dir das in der Rechnung aufgefallen, oder?

Zitat:Vielleicht liest du dir den Post auch lieber zweimal durch

Ja, das tue ich lieber, denn so ganz verstehe ich es noch nicht, besonders musste ich mir klar machen, was dieses $\circ$ bedeutet. So wie ich es herausgefunden habe, bedeutet es "Komposition".
Also, wenn's Probleme gibt, dann melde ich mich wieder.

Das mit dem ax und bx hab ich mal geändert. Wichtig war eigentlich nur cx und cy, also hab ich die überflüssigen Zeilen mal mit weggemacht.

Der Kreis bedeutet "Skalarprodukt". Es ist definiert als:

$\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} \ = \ a_xb_x \ + \ a_yb_y \ + \ a_zb_z$

Zudem ist ein Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ definiert als:
$cos \alpha \ = \ \frac { \vec a \ \circ \ \vec b } { \left| \vec a \right| \left| \vec b \right| }$

Wenn ein Winkel 90° ist, dann ist dessen Cosinus 0. cos 90° = 0.

Also - Für einen rechten Winkel gilt:
$cos \ 90^\circ \ = \ \frac { \vec a \ \circ \ \vec b } { \left| \vec a \right| \left| \vec b \right| }$
$0 \ = \ \frac { \vec a \ \circ \ \vec b } { \left| \vec a \right| \left| \vec b \right| }$

Damit muss der Zähler null sein, zudem ergibt sich die Bedingung, dass weder a noch b ein Nullvektor ist.

Damit haben wir die Bedingung dafür, dass die Vektoren a und b rechtwinklig aufeinander stehen:
$0 \ = \ \vec a \ \circ \ \vec b \ ; \ \vec a \ne \vec o \ ; \ \vec b \ne \vec o$

Gruß

Ah, OK, danke!

Dann schaue ich es mir an. Smile

Edit: Ah, ich habe noch eine Frage, die nicht zum Thema gehört, aber so klein ist, dass sie keinen Thread verdient hat.
Was bedeutet das: ?? a , falls alpha > 0 (dabei meine ich die Pfeile, und was ist, wenn einer nach oben und der andere nach unten zeigt?) (Hm, er möchte sie nicht anzeigen. OK, dann anders. Nochmal: || a , falls alpha > 0
Die beiden senkrechten Striche, beide haben am oberen Ende noch die Pfeilspitze.)

Sorry, verstehe gerade deine Frage nicht ^^

Du meinst, wenn zwei Vektoren in entgegengesetzte oder gleiche Richtungen zeigen?

Dann gilt:
$\cos \ \alpha \ = \ \frac { \vec a \ \circ \ \vec b } { \left| \vec a \right| \ \left| \vec b \right| }$

Bei gleicher Richtung:
$\cos \ 0^\circ \ = \ 1 \ = \ \frac { \vec a \ \circ \ \vec b } { \left| \vec a \right| \ \left| \vec b \right| }$
Daraus ergibt sich:
$\vec a \ \circ \ \vec b \ = \ \left| \vec a \right| \ \left| \vec b \right|$

Entgegengesetzte Richtung:
$\cos \ 180^\circ \ = \ -1 \ = \ \frac { \vec a \ \circ \ \vec b } { \left| \vec a \right| \ \left| \vec b \right| }$
Daraus ergibt sich:
$-\vec a \ \circ \ \vec b \ = \ \left| \vec a \right| \ \left| \vec b \right|$

Diese beiden Fälle lassen sich aber noch viel einfacher überprüfen. Denn in diesem Falle sind die Vektoren kollinear, also parallel. Sie sind also Vielfache voneinander:

$\vec a \ = \ r \cdot \vec b$
Daraus das lineare Gleichungssystem:
$a_x \ = \ rb_x$
$a_y \ = \ rb_y$
$a_z \ = \ rb_z$

Wenns dafür keine Lösung gibt, dann sind $\vec a$ und $\vec b$ nicht parallel, also der Winkel zwischen ihnen ist ungleich 0° und ungleich 180°. Gibt es eine Lösung, so sind sie parallel. Gibt es unendlich viele Lösungen, so handelt es sich bei einem der Vektoren um den Nullvektor $\vec o$ . Letzteres sollte man aber eigentlich auch so erkennen oO

Edit: Möchte mal noch anmerken, dass das hier nicht viel mit Matrizen zutun hat, sondern viel mehr mit linearer Algebra bzw. analytischer Geometrie zutun. Sind keine Tabellen, sondern Vektoren, also Längen und Richtungen im Raum Smile

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