Physik Forum

Moin,
Im Anflug von Langeweile (Chemieunterricht) fiel mir etwas im Pascalschen Zahlendreieck auf:



Die Reihen von oben ab Null beschriftet, ergeben die Zeilen Elferpotenzen:






Ab fällt auf, dass es so einach nicht funktioniert. Es funktioniert eher wie die schriftliche Addition: Die Zeilen müssen untereinander geschrieben werden und mit Zehnerpotenzen entsprechend der Spalte multipliziert werden:




...
Das ganze nun für . Die Reihe ist 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1, nach unten immer eine Zehnerpotenz mehr:


Mit dem Taschenrechner geprüft, scheint das für jede beliebige Elferpotenz mit der entsprechenden Pascal-Reihe zu funktionieren.

Nun die Frage: Warum?
Wie kann dieser Zusammenhang mathematisch begründet werden? Im Pascalschen Dreieck kommt schließlich nirgendwo 11 als Basis vor, noch Produkte oder Potenzen oO

Grüße

Edit:
Ich stieß noch auf zwei andere Dinge:
1. Das Ganze funktioniert mit 11, 22, 33, ..., also jedem ganzzahligen Vielfachen von 11.
Beispiel an der 22: 22/11 = 2, unser Faktor ist also 2. Dieser Faktor muss in jede Reihe nach unten weiter genutzt werden:


links: (0 + 1) * 2 = 2

Mitte: (2 + 2) * 2 = 8

...

Und wieder fällt auf:



etc.

2. Die Summen der Reihen sind interessanterweise die Potenzen des doppelten Faktors. Bei 11 ist der Faktor 1, die erste Reihe hat die Quersumme (1*2)^0 = 1, die zweite (1*2)^1 = 2, die dritte (1*2)^2 = 4, etc.
Bei der 22 ist der Faktor 2, die Basis ist also (2*2) = 4. Die Quersummen sind 4^0 = 1, 4^1 = 4, 4^2 = 16, und so weiter.

Nur so als "Zusatz", nach den Gründen werd ich aber wohl ewig suchen

Wenn das so ist hoffen wir natürlich noch auf viele Anflüge von Langeweile bei dir

Sierpinski lässt grüßen - zumindest dann, wenn man die ungeraden Zahlen mit einer bestimmten Farbe hinterlegt - siehe hier.

(habe weiter unten nurnoch die letzten zwei Ziffern der Zahlen geschrieben - sonst wäre das Dreieck verdammt breit gezogen oO)

Aber eigentlich ists irgendwie logisch..

nett

Das Sierpinski-Dreieck entsteht interessanterweise bei jedem Pascalschen Dreieck n-ten Faktors für alle ungeraden n. Für gebrochene Faktoren n ergeben sich aber interessante Wellenmuster, fällt mir da auf..

Faszinierend oO