Physik Forum

Hallo an alle,

Die meisten kennen mich und wissen dass ich mich immer gern in alle möglichen Themen der Physik mit ein mische. Ihr wisst aber auch ich bin eigentlich kein Physiker und auch mein eigenes Studium ist schon eine ganze weile her. (Ein komplexes Integral kann mich heute im Gegensatz zu euch doch auch ganz schön erschrecken).

Damit agiere ich oft auf der Basis von allgemeinem Wissen ohne wirklich in die Details bestimmter Sachverhalte ab zu tauchen.

Und mit so einem Detail kämpfe ich gerade (besser gesagt mit dem immer vorhandenen Teufel im Detail), MIT DER LORENZ TRANSFORMATION.

Hab ich bisher immer so hingenommen dass das die Transformation ist, mit der man Raum und Zeit Unterschiede zwischen sich unterschiedlich Bewegenden zeitlichen Bezugssystemen berechnet.

So, jetzt hab ich für einen andren Thread hier das erste Mal versucht so eine Transformation auf eine etwas komplexere Bewegung an zu wenden. Bzw. ich war dabei das zu versuchen und hab zuvor noch ein Wenig im Internet darüber Recherchiert.

Dabei bin ich auf eine Hoch interessante Seite zur LORENZ TRANSFORMATION gestossen, dieser hier: http://www.mathe-online.at/mathint/struc...rentz.html

(Seite Laden lassen und dann auf das Rechteck mit der Beschriftung „Applet Lorenztransformation“ klicken. Sollte es wider erwartend nicht anspringen, müsst ihr zuvor Java zumindest in der SE Edition installieren, hier http://www.java.com/en/ )

Hinter den Schaltern AUFGABEN / LOESUNGEN & DIDAKTISCHER HINTERGRUND verbergen sich viele Zusatzinformationen zu dieser Java Applikation

Generell behauptet die Applikation mit ihren dynamischen Diagramm elementare Sachverhalte der Speziellen Relativitätstheorie deutlich zu machen, die in statischen Diagrammen wesentlich schwieriger zu durchschauen sind.

Ist auch mein Gefühl, auch wenn ich immer noch am Enträtseln der Ausgaben bin.
Mit dem Schalter Einheiten lässt sich eine Funktionskurve einblenden auf der sich x & t bei Unterschiedlichen Geschwindigkeiten zwangsläufig bewegen (das erste Mal das ich das so per Diagram gesehen habe).

Darüber hinaus enthält die Darstellung 2 getrennte Ereignisse wovon ein Ereignis per Drag & Drop Räumlich und zeitlich von dem anderen Ereignis Getrennt werden kann.

Je nach dem was man da einstellt sieht man nicht nur die Veränderungen im Dynamischen Diagram, das Programm berechnet auch just in time die entsprechenden Differenzen für x’ ^ t’ sowie die die Lorentz-Invariante t² - x².

Soooo… fragen hab ich jetzt tausend, aber ich fang mal mit 3 an.

1.) Worum geht es eigentlich genau bei dieser Lorentz-Invariante?
2.) Wie interpretiert ihr die Winkelverschiebung der Koordinatenachsen x’ & t’ (also weg von 90 Grad) sobald eine Geschwindigkeit v1 UNGLEICH v2 gewaehlt wird?
3.) Wie ist das eigentlich wenn ich eine komplexe bewegung in einem 3 Dimensionalen Raum mir gegenüber bestimmen will? (Sprich das Ereignis 2 zischt z.b. von schräg links unten nach schräg rechts oben an mir vorbei). Sind das dann 3 Transformationen fuer 3 Raumachsen?

Für Sachdienliche Hinweise usw. HEISSEN DANK !!!

Peter

Hallo Peter,

du beschäftigst dich ja mit komplizierten Dingen, wenn es dir nicht so gut geht

Es gibt zwar bestimmt Leute hier, die sich besser auskennen als ich, aber ich mach mal einen Anfang und lasse mich gerne korrigieren bzw. ergänzen.

Zitat:Hab ich bisher immer so hingenommen dass das die Transformation ist, mit der man Raum und Zeit Unterschiede zwischen sich unterschiedlich Bewegenden zeitlichen Bezugssystemen berechnet.

Eine Lorentz-Transformation ist eine lineare Abbildung, die die Größe invariant lässt, d. h. bildest du mit einer Lorentztransformation auf ab, dann gilt
t²-x²=t'²-x'²

Du musst zunächst wissen, dass man in der speziellen Relativitätstheorie nicht mit der euklidischen Metrik arbeitet, wo man Abstände ganz gewöhnlich mit dem Pythagoras berechnen kann (die Komponenten eines Vektors quadratisch addieren und dann Wurzel ziehen). Also eine Metrik ist ein mathematisches Objekt, mit dem man Abstände zuordnen kann. Das kann man so machen: Man hat zwei verschiedene Punkte, deren Abstand man berechnen will. Dazu betrachtet man den Vektor , der die beiden Punkte verbindet und berechnet das Skalarprodukt wobei die die Komponenten dieses Vektors sind (ich hoffe, du kannst mir noch folgen). Damit ist insbesondere jeder Abstand größer gleich 0 (weil die Quadrate von reellen Zahlen aufsummiert werden), was ja auch ganz sinnvoll so ist.

In der RT verwendet man ein anderes Skalarprodukt, das streng mathematisch betrachtet kein Skalarprodukt ist, nämlich das Minkowskiprodukt. Man hat hier 4er-Vektoren (also Vektoren mit 4 Komponenten):
.
Die erste Komponente symbolisiert die Zeit, die hinteren drei die drei räumlichen ( usw. bedeutet nicht x zum quadrat sondern bedeutet einfach, dass es sich um die 2. räumliche Komponente handelt).
Das Minkowski-Produkt ist nun so definiert:

wobei das gewöhnliche Skalarprodukt ist.
So, jetzt ist es möglich, dass das Minkowskiprodukt negative Werte annimmt, nämlich dann, wenn . Deshalb ist das mathematisch betrachtet kein Skalarprodukt. Aber das nur am Rande.
Ich hoffe, du konntest mir grob folgen, dann komme ich jetzt zu deinen Fragen.

Zitat:1.) Worum geht es eigentlich genau bei dieser Lorentz-Invariante?

Wie dir vllt. aufgefallen ist, ist diese Invariante genau das Minkowskiprodukt eines 4-Vektors mit sich selbst. Uns hat man das damals so beigebracht, dass man sich vorstellen soll, dass sich eine Kugelwelle vom Ursprung eines Koordinatensystems ausbreitet und zwar mit Lichtgeschwindigkeit, also es handelt sich um eine Lichtwelle. Die Gleichung bzw. beschreibt dabei den "Lichtkegel" (das sind die Winkelhalbierenden in dem Minkowskidiagramm, auf das du verwießen hast!). Auf dieser Linie bewegt sich das Licht und es ist dementsprechend die sog. Weltlinie des Lichts. Nun sagt Einstein, dass die Lichtgeschwindigkeit konstant ist und das hat zur Folge, dass diese Weltlinie in jedem Bezugssystem gleich sein muss, also es muss immer die Winkelhalbierende sein, es gilt immer , s ist damit invariant.
Ich kann das wohl nicht so gut übers Forum erklären, aber ich gebe mein Bestes! Es wird jetzt nämlich noch etwas verwirrender. Wie dir vllt. aufgefallen ist, setze ich Zeiten mit Strecken gleich. Und du magst dich vllt. fragen: "Wie soll denn eine Zeit gleich einer Strecke sein?!". Das kommt daher, dass man hier in natürlichen Einheiten, also mit c = 1 rechnen. In SI-Einheiten stünde bei dem t immer noch ein c dabei. Aber in der RT hat man einfach eine 4-dimensionale Raumzeit und es gibt keinen Grund, warum die Zeit eine andere Einheit haben sollte wie die 3 räumlichen Komponenten. So kann man diese Setzung motivieren.

Also eigentlich steht da immer . ct ist die Strecke, die das Licht in der Zeit t zurück legt und x ist der Ort z. B. eines Ereignisses. Diese invariante Größe gibt also die Differenz zwischen der Strecke, die das Licht zwischen jetzt und dem Zeitpunkt des Ereignisses zurücklegt und dem Ort eines Ereignisses - jeweils quadratisch - an.
Insbesondere gilt damit: Ist s positiv, so ist das Ereignis kausal mit dir verbunden, weil bei dir etwas passieren kann und die Information davon zu dem entfernten Ereignis reisen kann und evtl. dieses Ereignis auslöst. Jetzt ist anschaulich auch klar, dass dieses Ereignis in jedem anderen Bezugssystem auch kausal mit dir zusammenhängen muss. Es ist nicht möglich, dass in einem anderen System das Ereignis passieren kann, ohne dass es mit dir verbunden ist, schließlich wäre es möglich, dass das Ereignis nur stattfindet, weil du irgendwas machst, das es auslöst. Beispiel: Du drückst einen Knopf und nach einer bestimmten Zeit startet eine Rakete, die kausal mit dir verbunden ist (also das Drücken des Knopfes löst den Start aus). Es kann nicht sein, dass in einem anderen Bezugssystem die Rakete startet, bevor du den Knopf drückst. Deshalb muss auch in jedem anderen System s > 0 gelten. Na ja, vllt. ist dir jetzt die Bedeutung dieser Invariante etwas klarer geworden.

Wahrscheinlich brummt dir jetzt von meinem ErklärungsVERSUCH schon der Kopf. Dann lass es erstmal auf dich wirken oder warte, bis andere dir bessere Erklärungen liefern können.

Zitat:2.) Wie interpretiert ihr die Winkelverschiebung der Koordinatenachsen x’ & t’ (also weg von 90 Grad) sobald eine Geschwindigkeit v1 UNGLEICH v2 gewaehlt wird?

Also gut, die Verschiebung der t'-Achse ist leicht zu interpretieren. Das ist ganz einfach die Weltlinie des bewegten Beobachters bezogen auf den ruhenden Beobachter. Zur Zeit t = 0 befindet sich der bewegte Beobachter am Ort x = 0, also im Ursprung. Jetzt lass etwas Zeit vergehen (d. h. man bewegt sich im Diagramm senkrecht nach oben). Dann kannst du zu jedem Zeitpunkt den x-Wert durch die Weltlinie bestimmen. Das ist der Ort, an dem sich der bewegte Beobachter zu dieser bestimmten Zeit befindet. Diese Weltlinie ist also eine Funktion x(t), die den Ort des bewegten Beobachters in Abhängigkeit der Zeit beschreibt.

So, bei der x'-Achse wird es aber etwas schwerer. Da wird es dir wahrscheinlich nicht reichen, wenn ich dir sage, dass das direkt aus der Lorentz-Transformation
folgt. Wenn man nämlich t'= 0 wählt, erhält man die Geradengleichung , wobei die Steigung angibt. Die ist proportional zur Geschwindigkeit und 1 für 1 = beta = v/c, also für v = c. Dann wären wir wieder bei der Winkelhalbierenden, also bei der Weltlinie des Lichts, für das ja v=c gilt. Für alle anderen Geschwindigkeiten v<c ist der Winkel auch kleiner.

Zitat:3.) Wie ist das eigentlich wenn ich eine komplexe bewegung in einem 3 Dimensionalen Raum mir gegenüber bestimmen will? (Sprich das Ereignis 2 zischt z.b. von schräg links unten nach schräg rechts oben an mir vorbei). Sind das dann 3 Transformationen fuer 3 Raumachsen?

Wie ich oben geschrieben habe, ist die Lorentz-Transformation eine lineare Abbildung, also eine Matrix. Genauer eine 4x4-Matrix. Damit lässt sich sowas ganz allgemein berechnen. Aber In diesem Diagramm, auf das du verwiesen hast, ist ohnehin nur eine Dimension gezeichnet. Notfalls dreht man sich das Koordinatensystem immer so, dass man eine Bewegung in nur eine Raumrichtung hat.


Jetzt will ich aber nicht andere davon abhalten, mich zu korrigieren, falls ich Quatsch erzählt habe

Hey Scurra, dank Dir erstmal fuer die AUSFUEHRLICHE ANTWORT !!!
Zu den Komplizierten dingen, mit denen man sich beschaeftigt, wenn es einem nicht so gut geht...
Ja also entweder bin ich grad tief im Fieber Delirium, oder AUF DEM WEG ZUR BESSERUNG!
Ich selbst geh natuerlich von Fall 2 aus, gar keine Frage

Fuehl mich immer noch wie durch den Fleischwolf gemangelt aber die Birne funktoioniert wieder klar und ohne Delay.

Und Scurra, du hast es FANTASTISCH ERKLAERT !!!
Das hier keine Einfache Antwort zu erwarten war, war mir vorher schon klar. Aber deinen Ausfuehrungen kann ich tatsaecklich erstmal gut folgen. Das wird jetzt nur zur folge haben, dass ich wohl lange mit deinen Erklaeungen und EINER HERAUS HAENGENDEN ZUNGE ueber dem Dynamischen diagramm sitzen werde.

Ist aber mehr als ok, denn bisher hab ich mir nie wirklich ueberlegt was bei einer Lorenz Transformation eigentlich passiert. Und fuer jemand der sich Gedanklich so stark mit Verhaeltnissen nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegt WIRD DAS JETZT LANGSAM MAL ZEIT DAZU !!!

Ich werde Dir also nicht schnell antworten, aber ich versprech dir, ich werde lange mit deinen Erklaerungen hier verbringen !!!

Dank Dir Scurra !!!

Peter

Dem kann ich mich nur anschließen:
"Herzlichen Dank, Scurra!"
Vielleicht kapier ich es demnächst auch langsam mal wirklich ...

Wow, Scurra, ich komm zwar langsam step by step, dafuer aber SUPER GUT mit deiner Erklaerung klar!
Ich bin noch am ackern aber ich werde deine Erlauterungen heute oder morgen
mal in meine Worte umsetzen und dabei auch Regelmaessig Bezug auf das Diagram nehmen.

Ich kann dir aber jetzt schon sagen, dass sich da auch grad einige Mythen in meinem Kopf verabschieden.

Also EHRLICHEN DANK fuer die Muehe die Du dir da beim Erklaeren gemacht hast !!!!!

Ciao,

Peter